TÉRMINOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS
CONJUNTO: Colección de cualquier tipo de objetos considerada como un todo. Los objetos que forman el conjunto son nombrados elementos del conjunto. Por colección entendemos a una agrupación que está determinada por una propiedad enunciada por un lenguaje preciso. No toda colección de objetos es un conjunto.
RELACIÓN DE PERTENENCIA: El ser elemento de, es una relación binaria entre dos objetos de la teoría de conjuntos. Esta relación va de un objeto a otro, donde el segundo objeto es necesariamente un conjunto.
OPERACIONES CON CONJUNTO
Es un conjunto formado por los elementos comunes entre dos conjuntos, en este caso el conjunto A y el B, es decir, son los elementos repetidos de ambos conjuntos.
· UNION DE CONJUNTOS U
Es un conjunto formado por los elementos que pertenecen a uno u otro conjunto o a ambos. Es decir el conjunto A y el conjunto B juntos forman el tercer conjunto.
· DIFERENCIA \
El complemento de un conjunto es el que tiene todos los elementos que no pertenecen a A
· DIFERENCIA SIMETRICA Δ
Es el conjunto que contiene todos los elementos que pertenecen, o bien a A o bien a B, pero no a ambos a la vez.
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
Permutación: son operaciones en las que el orden de los elementos sí importa, y son las más fáciles de calcular. Por ejemplo si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas las permutaciones posibles son:
Porque hay n posibilidades para la primera elección después hay n posibilidades para la segunda elección. Además existen:
· PERMUTACIONES SIN REPETICION
· NOTACION FACTORIAL: Es el producto de números enteros positivos desde el 1 hasta n. Su notación es n! = 1*2*3*4...*n, es decir se multiplican números descendientes:
4! = 4*3*2*1= 24
Combinaciones: en este caso el orden de los elementos no importa.
EJERCICIOS:
1-¿En cuántas formas pueden sentarse alternadamente 3 hombres y 2 mujeres en una banca para 5 personas?
2-En una clase de 5 alumnos van a distribuirse 3 premios. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse si los premios son diferentes y si una persona no puede recibir más de un premio?
El primer premio le puede tocar a 5 personas, el segundo cuatro personas y el tercero a tres, por lo que se resume en 5*4*3=60
3- ¿Cuantos números de 4 dígitos se pueden formar con los números del 0 al nueve sin repetir ninguno?
Bueno tenemos nueve posibilidades sin contar el cero, pues sería de tres cifras, para el segundo tenemos 9 posibilidades, para el tercero 8 y para el cuarto 7 por lo que seria:
4-¿Cuántos números de 5 dígitos pueden formarse con los números del 0 al 9 sin que ninguno se repita?
Como en el problema anterior en el primero no contamos el 0 asi que la solución seria:
5-¿Cuántas permutaciones pueden hacerse con las letras de la palabra ZOOLOGICO?
El total de las letras es 9, por lo que para la Z hay 9 opciones n=9 r=1
Para la O hay 8 lugares, pero la letra se repite y la r=3
La L tiene 4 posibles lugares y solo se repite una vez n=4 r=1
Igual que la anterior la G tiene n=3 r=1
La I tiene n= 2 r=1
Por último la C tiene n=1 y r=1
Como en este caso no nos importa el lugar que ocupen las letras se trata de una combinación:
6- Un alumno tiene que 5 de las 7 preguntas de un examen ¿de cuantas maneras puede elegirlas?
Dado que el orden de las preguntas no importa se trata de una combinación, de la que el tota es n=10 y solo queremos r=7, por lo que es:
7- un vendedor debe visitara 4 clientes ¿en cuántas ordenes diferentes puede hacer las visitas?
En este caso el orden es vital pues de él depende que una visita se diferencie de otra, por lo que hablamos de una permutación, en la que n=4 y r=4 es decir
8- de cuantas maneras distintas pueden ser os resultados de unas elecciones estudiantiles si hay 2 candidatos a presidente, 1 a vicepresidente y 3 a tesoreso?
Para los presidentes n=2 y solo pueden elegir a 1 por lo que r=1
Para el vicepresidente solo hay 1 candidato, entonces n=1 r=1
Para tesorero n=3 y r=1
Por lo que: 2*1*3= 6
9-¿de cuantas maneras distintas pueden seleccionarse 4 películas para ver en un día?
Hay 4 posibilidades y podemos ver 4
n=4 r=4
y el orden importa así que es una permutación:
10- ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse 5 personas en una fila de 8 sillas?
El orden importa es una permutación:
N=8
R=5
11- ¿en cuántas formas puede seleccionarse a 3 niños para un concurso si se deben de elegir 2 niñas de un grupo de 4 y 1 niño de un grupo de 5?
NIÑAS NIÑOS
N= 4
R=2 R=1
12-¿De cuantas maneras puede elegirse de 6 ovejas negras 2 blancas y 3 grises una de cada una para llevar a una feria?
Negras: n=6 r=1
Blancas: n=2 r=1
Grises: n=3 r=1
Por lo tanto: 6*2*3 =36
13-un vendedor debe visitara 3 clientes ¿en cuántas ordenes diferentes puede hacer las visitas?
En este caso el orden es vital pues de él depende que una visita se diferencie de otra, por lo que hablamos de una permutación, en la que n=3 y r=3 es decir
14 -¿de cuantas maneras distintas pueden seleccionarse 6 películas para ver en un día?
Hay 6 posibilidades y podemos ver 6
n=6 r=6
y el orden importa así que es una permutación:
15- Un alumno tiene que 2 de las 5 preguntas de un examen ¿de cuantas maneras puede elegirlas?
Dado que el orden de las preguntas no importa se trata de una combinación, de la que el tota es n=5 y solo queremos r=2, por lo que es:
16- ¿Cuantos números de 3 dígitos se pueden formar con los números del 0 al nueve sin repetir ninguno?
Bueno tenemos nueve posibilidades sin contar el cero, pues sería de dos cifras, para el segundo tenemos 9 posibilidades, y para el tercero 8, por lo que la respuesta es
17- En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 4 premios. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse si los premios son diferentes y si una persona no puede recibir más de un premio?
El primer premio le puede tocar a 10 personas, el segundo a 9 personas, el tercero a 8 y el cuarto a 7 por lo que se resume en 10*9*8*7=5040
18-¿en cuántas formas puede seleccionarse a 4 personas para una encuesta si se deben de elegir 1 mujer de un grupo de 4 y 3 hombres de un grupo de 4?
MUJERES HOMBRES
N= 4
R=1 R=3
19--¿Cuántas permutaciones pueden hacerse con las letras de la palabra TELEVISION?
El total de las letras es 10, por lo que para la T hay 10 opciones n=10 r=1
La E tiene 9 posibles lugares y se repite n=9 r=2
Para la L hay 7 lugares, la letra no se repite n=7 r=1
La V tiene n= 6 r=1
La I tiene n= 5 r=2
La S tiene n= 3 r=1
Igual que la anterior la O tiene n=2 r=1
Por último la N tiene n=1 y r=1
Como en este caso no nos importa el lugar que ocupen las letras se trata de una combinación:
20- ¿De cuantas maneras puede seleccionarse un comité de 3 miembros entre 8 hombres?
Como en este caso solo se quiere seleccionar 3 y no importa el orden es una combinación, por lo que
TECNICAS DE CONTEO
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Si un evento A puede ocurrir de n maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede ocurrir de n maneras diferentes, entonces el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado es igual a n por n.
PROBABILIDAD SIMPLE
EJERCICIOS:
1-¿Cuál es la probabilidad de que de una caja que contiene 3 colores rojos, 4 verdes y 2 negros se saque 1 color rojo?
EVENTO EXPERIMENTO
N=3 = 1/3
R=1 R=1
2-¿Cuál es la probabilidad de sacar de una bolsa de dulces que contiene 4 paletas 2 chicles y 1 tamarindo de sacar 1 paleta?
EVENTO EXPERIMENTO
N=4 = 4/7
R=1 R=1
3-¿del ejercicio anterior hay paletas de fresa, uva, limón y naranja cual es la probabilidad de sacar una de limón?
EVENTO EXPERIMENTO
N=1 = 1/4
R=1 R=1
EVENTO EXPERIMENTO
N=1 = 1/5
R=1 R=1
5--¿Cuál es la probabilidad de que de una caja que contiene 2 flores rojas, 4 amarillas y 5 rosas se saque 2 amarillas?
EVENTO EXPERIMENTO
N=4 = 6/11
R=2 R=1
6-en una casa hay 5 niños 3 niñas y 2 adultos, ¿Cuál es la probabilidad de que se salgan al patio 1 niño y 1 adulto?
EVENTO EXPERIMENTO
N=7 =21/45
R=2 R=2
7- ¿del problema anterior cual es la probabilidad de que salgan 1 niño y 2 niñas?
EVENTO EXPERIMENTO
N=8 =56/120
R=3 R=3
8-¿y si solo salen los 2 adultos?
EVENTO EXPERIMENTO
N=2 =1/45
R=2 R=2
9-en una bolsa hay 6 semillas, 2 son de flores, 3 de árboles y 1 de verduras ¿Cuál es la probabilidad de que se saque 1 semilla de flores y una de verdura?
EVENTO EXPERIMENTO
N=3 =3/15
R=2 R=2
EVENTO EXPERIMENTO
N=4 = 1/2
R=1 R=1
11-¿Cuál es la probabilidad de sacar de una canasta de frutas que contiene 5 naranjas 2 manzanas y 2 plátanos de sacar 1 plátano?
EVENTO EXPERIMENTO
N=1 =1 /9
R=1 R=1
12- en una carpeta hay 3 ensayos de español, 2 hojas de ejercicios de matemáticas y 1 hoja en blanco, ¿Qué probabilidad hay de que se saque 1 hoja en blanco y 1 ensayo?
EVENTO EXPERIMENTO
N=4 =6 /15
R=2 R=2
EVENTO EXPERIMENTO
N=3 =3/15
R=2 R=2
14-¿Cuál es la probabilidad de sacar de un mostrador que contiene 5 pares de los cuales hay 1 par negro, 3 cafés y 1 rojo ?
EVENTO EXPERIMENTO
N=1 =1 /5
R=1 R=1
15 -en una bolsa hay 4 llaves distintas, 2 son para la entrada, 1 para roperos y 1 para la cocina ¿Cuál es la probabilidad de que se saque 1 para la entrada?
EVENTO EXPERIMENTO
N=2 =2/4
R=1 R=1
